Matematici odkryli veľký nový dôkaz pre jeden z najslávnejších nepotvrdených nápadov v matematike, známy ako domnienka dvojčiat. Cesta, ktorou sa vydali k zisteniu, že dôkazy pravdepodobne nepomôžu dokázať samotnú domnienku dvojčiat.
Dvojitá primárna domnienka je o tom, ako a kedy sa prvočísla - čísla, ktoré sú deliteľné iba samy a 1 - objavia na číselnom riadku. „Dvojité prvočísla“ sú prvočísla, ktoré sú na tomto riadku dva od seba vzdialené: 3 a 5, 5 a 7, 29 a 31, 137 a 139 atď. Dvojitá domnienka dohadov uvádza, že existuje nekonečne veľa prvočísel, a že sa s nimi budete stále stretávať bez ohľadu na to, ako ďaleko ste v číselnom riadku, ktorý idete. Taktiež sa v ňom uvádza, že existuje nekonečne veľa primárnych párov s každou ďalšou možnou medzerou medzi nimi (prvotné páry, ktoré sú od seba štyri kroky, od seba osem krokov, od seba 200 000 krokov atď.). Matematici si sú celkom istí, že je to pravda. Určite to vyzerá, že je to pravda. A ak by to nebola pravda, znamenalo by to, že prvočísla nie sú také náhodné, ako si mysleli všetci, čo by zkazilo veľa nápadov o tom, ako čísla všeobecne fungujú. Ale nikto to nikdy nedokázal.
Teraz však môžu byť bližšie ako kedykoľvek predtým. V článku publikovanom 12. augusta v predtlačovom časopise arXiv, ako Quanta prvýkrát uviedla, dvaja matematici dokázali, že dvojitá domnienka je pravdivá - aspoň v akomsi alternatívnom vesmíre.
To robia matematici: pracujte na veľkých dôkazoch preukazovaním menších nápadov. Poučenie získané z týchto menších dôkazov niekedy môže pomôcť s väčším dôkazom.
V tomto prípade matematici Will Sawin z Kolumbijskej univerzity a Mark Shusterman z University of Wisconsin preukázali verziu dvojitej domnienky o alternatívnom vesmíre „konečných polí“: číselné systémy, ktoré nejdú do nekonečna ako číselný riadok, ale namiesto toho sa slučte.
Pravdepodobne každý deň narazíte na konečné pole na tvári hodín. Je to 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 a potom sa slučky vracia späť k 1. V tomto konečnom poli sa 3 + 3 stále rovná 6. Ale 3 + 11 = 2.
Konečné polia majú polynómy alebo výrazy ako „4x“ alebo „3x + 17x ^ 2-4“, povedal Sawin Live Science, rovnako ako bežné čísla. Matematici, povedal, sa dozvedel, že polynómy nad konečnými poľami sa správajú podobne ako celé čísla - celé čísla na číselnom riadku. Vyhlásenia, ktoré sú pravdivé o celých číslach, majú tendenciu tiež dôverovať polynomom v konečné polia a naopak. A rovnako ako prvočísla prichádzajú v pároch, polynómy prichádzajú v pároch. Napríklad dvojčatá 3x + 17x ^ 2-4 sú 3x + 17x ^ 2-2 a 3x + 17x ^ 2-6. A pekná vec, o polynómoch, povedal Sawin, je, že na rozdiel od celých čísel, keď ich vykresľujete do grafu, vytvárajú geometrické tvary. Napríklad 2x + 1 vytvorí graf, ktorý vyzerá takto:
A 5x + x ^ 2 vytvorí graf, ktorý vyzerá takto:
Pretože polynómy mapujú tvary a nie bodky, ktoré získate pri grafe jednotlivých prvočísel, môžete pomocou geometrie dokázať veci o polynómoch, ktoré nemôžete dokázať o jednoduchých celých číslach.
„Neboli sme prví ľudia, ktorí si všimli, že geometriu môžete použiť na pochopenie konečných polí,“ povedal Shusterman pre Live Science.
Iní vedci preukázali menšie verzie hypotézy dvojitých prvočísel o určitých druhoch polynómov na konečných poliach. Sawin a Shustermanov dôkaz však vyžadovali, aby sa vedci v mnohých ohľadoch vrátili a začali od nuly, uviedla Sawin.
„Mali sme pozorovanie, ktoré nám umožnilo vykonať trik ... ktorý urobil geometriu oveľa krajšou, aby sa uplatňovala vo všetkých týchto prípadoch,“ povedal Shusterman.
Tento geometrický trik povedal, že viedol k ich prielomu: dokazujúc, že táto špeciálna verzia dohadov dvojíc je pravdou pre všetky polynómy nad konečnými poľami, nielen pre niektoré z nich.
Zlá správa, povedal Sawin, je, že pretože ich trik sa silne spolieha na geometriu, pravdepodobne nebude možné ho použiť na preukázanie samotnej dvojitej domnienky. Základná matematika je jednoducho príliš odlišná.
Napriek tomu, Shusterman povedal, dokazovanie prípadu konečných polí je veľkým novým dôkazom, ktorý by sa dal pridať k hromade a dráždiť matematikov s možnosťou, že dôkaz, na ktorý čakajú všetci, je niekde niekde.
Je to, akoby chceli vidieť vrchol vysokej strmej hory, a namiesto toho vytiahli cestu hore na inú horu v okolí. Takmer vidia vzdialený vrchol, ale je zahalený mrakmi. A trasa, ktorou sa vydali na vrchol druhej hory, pravdepodobne nebude fungovať na hore, na ktorom sa skutočne zaujímajú.
Shusterman povedal, že dúfa, že bude pokračovať v práci so Sawinom na probléme dvojčiat.
