Urobil tím matematikov veľký krok k odpovedi na 160-ročnú otázku v matematike v miliónoch dolárov?
Možno. Posádka vyriešila množstvo ďalších menších otázok v oblasti nazývanej teória čísel. A tým znovu otvorili starú cestu, ktorá by mohla nakoniec viesť k odpovedi na starú otázku: Je hypotéza Riemanna správna?
Reimannova hypotéza je základným matematickým dohadom, ktorý má obrovské dôsledky pre zvyšok matematiky. Tvorí základ pre mnoho ďalších matematických nápadov - ale nikto nevie, či je to pravda. Jeho platnosť sa stala jednou z najznámejších otvorených otázok matematiky. Je to jeden zo siedmich problémov tisícročia stanovených v roku 2000 s prísľubom, že každý, kto ich vyrieši, vyhrá 1 milión dolárov. (Od tej doby bol vyriešený iba jeden z problémov.)
Odkiaľ pochádza tento nápad?
Už v roku 1859 navrhol nemecký matematik Bernhard Riemann odpoveď na obzvlášť trnitú matematickú rovnicu. Jeho hypotéza vyzerá takto: Skutočná časť každej netriviálnej nuly funkcie Riemann zeta je 1/2.. Je to celkom abstraktné matematické tvrdenie, ktoré súvisí s tým, aké čísla môžete vložiť do konkrétnej matematickej funkcie, aby sa táto funkcia rovnala nule. Ukázalo sa však, že záleží na tom, čo je najdôležitejšie, čo sa týka otázok, ako často sa stretnete s prvočíslami, keď sa počítate do nekonečna.
K podrobnostiam hypotézy sa vrátime neskôr. Teraz je však dôležité vedieť, že ak je hypotéza Riemanna pravdivá, odpovedá na veľa otázok z matematiky.
„Takže v teórii čísel sa často stáva, že ak predpokladáte Riemannovu hypotézu, dokážete dokázať všetky druhy ďalších výsledkov,“ Lola Thompsonová, teoretička čísla na Oberlin College v Ohiu, ktorá sa nezúčastnila v tomto najnovšom výskume, povedal.
Často povedala Live Science, že teoretici čísel najprv dokážu, že niečo je pravda, ak je hypotéza Riemanna pravdivá. Potom použijú tento dôkaz ako odrazový mostík k zložitejšiemu dôkazu, ktorý ukazuje, že ich pôvodný záver je pravdivý, či je hypotéza Riemanna pravdivá alebo nie.
Skutočnosť, že tento trik funguje, presvedčila mnohých matematikov, že hypotéza Riemanna musí byť pravdivá.
Pravda je taká, že nikto nevie s istotou.
Malý krok k dôkazu?
Ako nás teda tento malý tím matematikov priblížil k riešeniu?
„To, čo sme v našej práci urobili,“ povedal Ken Ono, teoretik na Emory University a spoluautor nového dôkazu, „revidujeme veľmi technické kritérium, ktoré je rovnocenné hypotéze Riemanna… a preukázali sme veľké časť tohto kritéria. Ukázali sme veľký kus tohto kritéria. ““
„Kritérium, ktoré je ekvivalentom Riemannovej hypotézy“, sa v tomto prípade týka samostatného tvrdenia, ktoré je matematicky ekvivalentné Riemannovej hypotéze.
Na prvý pohľad nie je zrejmé, prečo sú tieto dve výpovede tak prepojené. (Kritérium sa týka niečoho, čo sa nazýva „hyperbolicita Jensenových polynómov“.) Avšak v 20. rokoch 20. storočia maďarský matematik George Pólya dokázal, že ak je toto kritérium pravdivé, potom platí Riemannova hypotéza - a naopak. Je to stará navrhovaná cesta na preukázanie hypotézy, ale tá, ktorá bola z veľkej časti opustená.
Ono a jeho kolegovia v príspevku uverejnenom 21. mája v časopise Progress of the Natural Academy of Sciences (PNAS) preukázali, že v mnohých prípadoch je toto kritérium pravdivé.
Ale v matematike veľa nestačí počítať ako dôkaz. Stále existujú prípady, keď nevedia, či je kritérium pravdivé alebo nesprávne.
„Je to ako hrať miliónový počet Powerball,“ povedal Ono. „A poznáš všetky čísla okrem tých posledných 20. Ak je aj jedno z tých posledných 20 čísel nesprávne, prehráš.… Stále by sa to všetko mohlo rozpadnúť.“
Vedci by museli prísť s ešte pokročilejším dôkazom, ktorý preukáže, že kritérium je pravdivé vo všetkých prípadoch, čím sa preukáže hypotéza Riemanna. A nie je jasné, ako ďaleko je taký dôkaz, povedal Ono.
Aký veľký je tento dokument?
Pokiaľ ide o Riemannovu hypotézu, je ťažké povedať, aká veľká je táto dohoda. Veľa záleží na tom, čo bude ďalej.
„Toto je len jedna z mnohých ekvivalentných formulácií Riemannovej hypotézy,“ povedal Thompson.
Inými slovami, existuje mnoho ďalších myšlienok, ktoré by podobne ako toto kritérium dokázali, že hypotéza Riemanna je pravdivá, ak by sa dokázali samy.
„Takže je skutočne ťažké vedieť, aký veľký pokrok to je, pretože na jednej strane sa dosiahol pokrok týmto smerom. Ale existuje toľko ekvivalentných formulácií, že tento smer pravdepodobne nevytvorí Riemannovu hypotézu. Možno jeden z ďalšie rovnocenné vety namiesto toho budú, ak niekto dokáže jeden z nich, “povedal Thompson.
Ak sa dôkaz ukáže touto cestou, bude to pravdepodobne znamenať, že Ono a jeho kolegovia vyvinuli dôležitý základný rámec pre riešenie Riemannovej hypotézy. Ak sa však objaví niekde inde, ukáže sa, že tento dokument bol menej dôležitý.
Napriek tomu sú matematici ohromení.
„Aj keď to zďaleka nie je ďaleko od dokázania Riemannovej hypotézy, je to veľký krok vpred,“ v priloženom článku PNAS 23. mája Encrico Bombieri, teoretik číslo Princeton, ktorý sa nezúčastnil na výskume tímu. „Niet pochýb o tom, že tento dokument bude inšpirovať ďalšiu zásadnú prácu v iných oblastiach teórie čísel, ako aj v matematickej fyzike.“
(Bombieri získal v roku 1974 Fields Medal - najprestížnejšiu cenu v matematike - z veľkej časti za prácu súvisiacu s hypotézou Riemanna.)
Čo vlastne Riemannova hypotéza znamená?
Sľúbil som, že sa k tomu vrátime. Tu je opäť Riemannova hypotéza: Skutočná časť každej netriviálnej nuly funkcie Riemannova zeta je 1/2..
Pozrime sa na to podľa toho, ako to vysvetlili Thompson a Ono.
Po prvé, aká je funkcia Riemann zeta?
V matematike je funkcia vzťah medzi rôznymi matematickými veličinami. Jednoduchý by mohol vyzerať takto: y = 2x.
Funkcia Riemann zeta sa riadi rovnakými základnými princípmi. Iba je to oveľa zložitejšie. Ako to vyzerá?
Je to súčet nekonečnej postupnosti, kde sa k predchádzajúcim výrazom pridá každý výraz - prvých niekoľko je 1/1 ^ s, 1/2 ^ s a 1/3 ^ s -. Tieto elipsy znamenajú, že séria vo funkcii takto pokračuje navždy.
Teraz môžeme odpovedať na druhú otázku: Čo je nula funkcie Riemann zeta?
Je to jednoduchšie. „Nula“ funkcie je akékoľvek číslo, ktoré môžete vložiť pre x, ktoré spôsobí, že sa funkcia rovná nule.
Ďalšia otázka: Čo je „skutočná časť“ jedného z týchto núl a čo to znamená, že sa rovná 1/2?
Riemannova zeta funkcia zahŕňa to, čo matematici nazývajú „komplexnými číslami“. Takto vyzerá komplexné číslo: a + b * i.
V tejto rovnici znamenajú „a“ a „b“ akékoľvek reálne čísla. Reálne číslo môže byť od mínus 3 po nulu až 4,99234, pi alebo 1 miliarda. Je tu však aj iné číslo: imaginárne čísla. Keď si vezmete druhú odmocninu záporného čísla, objavia sa imaginárne čísla, ktoré sú dôležité a zobrazujú sa vo všetkých matematických kontextoch.
Najjednoduchšie imaginárne číslo je druhá odmocnina -1, ktorá sa píše ako „i“. Komplexné číslo je skutočné číslo („a“) plus ďalšie skutočné číslo („b“) krát i. „Skutočná časť“ komplexného čísla je „a“.
Niekoľko núl funkcie Riemannovej zety, záporné celé čísla od -10 do 0, sa do Reimannovej hypotézy nepočítajú. Tieto čísla sa považujú za „triviálne“ nuly, pretože sú to skutočné čísla, nie komplexné čísla. Všetky ostatné nuly sú „netriviálne“ a komplexné čísla.
Riemannova hypotéza uvádza, že keď funkcia Riemann zeta prechádza nulou (s výnimkou núl medzi -10 a 0), skutočná časť komplexného čísla sa musí rovnať 1/2.
Toto malé tvrdenie nemusí znieť veľmi dôležito. Ale je to tak. A môžeme byť len dospievajúci kúsok bližšie k jeho vyriešeniu.
