"Do nekonečna a ešte ďalej!"
Už ste dokonca hlboko premýšľali o slávnej frázi Buzza Lightyeara z filmov „Toy Story“? Pravdepodobne nie. Ale možno ste niekedy obzerali pohľad na nočnú oblohu a premýšľali ste o samotnej povahe nekonečna.
Nekonečno je zvláštny koncept, taký, že ľudský mozog má ťažké zabaliť svoje obmedzené porozumenie. Hovoríme, že vesmír môže byť nekonečný, ale môže to naozaj pokračovať navždy? Alebo číslice pí za desatinnou čiarkou - skutočne bežia donekonečna, vždy nám dávajú oveľa väčšiu presnosť pomeru medzi obvodom kruhu a polomerom? A mohol by mať Buzz pravdu? Je niečo za hranicami nekonečna?
S cieľom vysporiadať sa s týmito špekuláciami ohýbajúcimi mysle, spoločnosť Live Science požiadala o pomoc matematika Henryho Towsnera z University of Pennsylvania vo Philadelphii, ktorý bol taký láskavý, že sa pokúsil odpovedať na otázku: „Dokážete spočítať minulé nekonečno?“ (Buďte opatrní: bude to zložitejšie.)
Nekonečno, Towsner povedal, sedí na zvláštnom mieste: Väčšina ľudí má pocit, že majú nejakú intuíciu o koncepte, ale čím viac o ňom premýšľajú, tým je to čudnejšie.
Matematici na druhej strane často nekončia v nekonečne ako o samotnom koncepte, dodal. Skôr využívajú rôzne spôsoby, ako o tom premýšľať, aby sa dostali k jeho mnohým aspektom.
Napríklad, existujú rôzne veľkosti nekonečna. To dokázal nemecký matematik Georg Cantor na konci 18. storočia, podľa histórie z University of St Andrews v Škótsku.
Cantor vedel, že prirodzené čísla - to je celé, pozitívne čísla ako 1, 4, 27, 56 a 15 687 - pokračujú navždy. Sú nekonečné a tiež sú to, čo používame na počítanie vecí, preto ich definoval ako „nespočetne nekonečné“ podľa užitočného webu o histórii, matematike a iných témach od vzdelávacieho karikaturistu Charlesa Fishera Coopera.
Skupiny nespočetne nekonečných čísel majú niektoré zaujímavé vlastnosti. Napríklad párne čísla (2, 4, 6 atď.) Sú tiež nespočetne nekonečné. A zatiaľ čo je ich technicky polovica, ako je to, čo je obsiahnuté v celom rade prírodných čísel, stále sú to isté nekonečné čísla.
Inými slovami, môžete umiestniť všetky párne čísla a všetky prirodzené čísla vedľa seba do dvoch stĺpcov a oba stĺpce pôjdu do nekonečna, ale sú rovnaké ako „dĺžka“ nekonečna. To znamená, že polovica spočítateľného nekonečna je stále nekonečno.
Cantorovým veľkým vhľadom však bolo uvedomiť si, že existujú aj iné množiny čísel, ktoré boli nespočetne nekonečné. Reálne čísla - ktoré zahŕňajú prirodzené čísla, ako aj zlomky a iracionálne čísla ako pi - sú nekonečnejšie ako prirodzené čísla. (Ak by ste chceli vedieť, ako to Cantor urobil a ako zvládnuť nejaký matematický zápis, pozrite si tento pracovný list z University of Maine.)
Keby ste zoradili všetky prirodzené čísla a všetky skutočné čísla vedľa seba v dvoch stĺpcoch, skutočné čísla by sa natiahli za nekonečno prirodzených čísel. Cantor sa neskôr zbláznil, pravdepodobne z dôvodov nesúvisiacich s jeho prácou na nekonečne, podľa Coopera.
Čo sa počíta?
Takže späť k otázke počítania minulosti nekonečna. „Čo vás matematika pýta, je:„ Čo to vlastne znamená? “Povedal Towsner. „Čo tým myslíš počítaním minulosti nekonečna?“
Aby sa problém dostal, hovoril Towsner o poradových číslach. Na rozdiel od kardinálnych čísel (1, 2, 3 atď.), Ktoré vám hovoria, koľko vecí je v sade, sú ordinály definované ich pozíciami (prvá, druhá, tretia atď.) A boli tiež zavedené do matematiky Cantor, podľa matematickej webovej stránky Wolfram MathWorld.
V poradových číslach je pojem nazývaný omega, označený gréckym písmenom ω, Towsner povedal. Symbol ω je definovaný ako vec, ktorá prichádza po všetkých ostatných prirodzených číslach - alebo, ako to nazval Cantor, prvý transfinitálny ordinál.
Jedna z vecí týkajúcich sa čísel je však to, že na konci môžete vždy pridať ďalšiu, povedal Towsner. Takže existuje niečo ako ω + 1 a ω + 2 a dokonca ω + ω. (V prípade, že vás zaujíma, nakoniec ste narazili na číslo zvané ω1, ktoré je známe ako prvý nespočetný ordinál.)
A keďže počítanie je niečo ako pridávanie ďalších čísel, tieto koncepty vám umožňujú počítať minulé nekonečno, povedal Towsner.
Podivnosť tohto všetkého je súčasťou dôvodu, ktorý matematici trvajú na dôslednom definovaní svojich pojmov, dodal. Pokiaľ nie je všetko v poriadku, je ťažké oddeliť našu normálnu ľudskú intuíciu od toho, čo sa dá dokázať matematicky.
„Matematika ti hovorí:„ Prejdite hlboko, čo sa počíta? “Povedal Towsner.
Pre nás obyčajných smrteľníkov môže byť ťažké tieto nápady úplne vypočítať. Ako presne pracujúci matematici riešia všetky tieto vtipné obchody v ich každodennom výskume?
„Veľa z toho je prax,“ povedal Towsner. „Vyvíjate nové intuície s expozíciou a keď intuícia zlyhá, môžete povedať:„ Hovoríme o tomto presnom podrobnom dôkladnom dôkaze. Takže ak je tento dôkaz prekvapivý, stále si môžeme overiť, či je správny, a potom sa naučiť rozvíjať novú intuíciu. “
